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CDer:000230186 楼主: 红色俱乐部
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三次数学危机(原创)

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CDer:000163574
发表于 2010-08-10 19:23 | 显示全部楼层
是中科大工科用的高数吧?
    当然,这种方法对文科或偏文科还是有很大难度的,对于这些学生,可以采取另外的方法,比如中科大的教法,把一谱系龙德尔塔语言放在最后,前面就是靠直觉 (比如极限的加减乘除在开始就没有证明,直接用),而且在前面告诉学生,这些东西的证明在后面有,这样也不错.中科大的观点也不错,牛顿莱布尼茨等人也不懂一谱系龙德尔塔语言嘛,但谁敢说他们不懂微积分?
shiny1225 发表于 2010-8-10 18:30
最具影响力军事论坛-超级大本营军事论坛欢迎你!超然物外,有容乃大。
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发表于 2010-08-10 19:40 | 显示全部楼层
正因为现有大学教材和中学教材衔接不力,甚至可以说没有衔接,所以才有这个想法.从集合论的角度开始 ...
shiny1225 发表于 2010-8-10 18:30


:handshake我也认为讲授数学史很重要。
微积分可以看作把极限方法引入函数研究的结果。极限涉及的是无穷多次运算的问题,初衷是要寻找到精确解。但由于从逻辑上难以说清结果是否是精确解,所以整个理论就显得不严密了。而要让逻辑和直觉合拍,就要讲清无穷小。一谱系龙德尔塔语言其实绕开了这一点。所以,不讲清无穷小如何制造麻烦,一谱系龙德尔塔语言又是如何绕开无穷小的,无论如何安排材料,困惑都难以避免。弄明白了这一点,集合的基数也可以照葫芦画瓢的理解。
应该把代数方程的数值解法,天文学上多项式插值安排到中学课程中,或者作为大学数学的先行课程。 有了这些内容铺垫,无理数有理逼近,多项式的重要性都能有直观印象。由多项式插值过渡到泰勒级数也就不会显得太突兀了。多项式是幂函数的线性组合,把幂函数改为三角函数,傅立叶级数也容易理解多了。再进一步就可以导出线性空间和正交基的意义。现在解析几何不太受重视,为学习代数和物理制造了不少障碍。
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CDer:000230186
 楼主| 发表于 2010-08-10 20:29 | 显示全部楼层
回复  红色俱乐部

记得大一时高数老师闲聊时说:一开始定积分和不定积分是完全不相干的两门学科。只记得 ...
和谐号 发表于 2010-8-10 19:08



    确实如此,只不过几乎所有的教科书在学完不定积分之后,清一色的就是用牛顿莱布尼兹公式,然后就是定积分,以至于所有学生都认为不定积分的主要作用就是用牛顿莱布尼兹公式来求定积分,中间无数数学家的辛苦就被理所当然的跨越了。不过我自己也搞不清楚这些就是了。我也是那些学生中的一个分子。
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CDer:000230186
 楼主| 发表于 2010-08-10 20:37 | 显示全部楼层
正因为现有大学教材和中学教材衔接不力,甚至可以说没有衔接,所以才有这个想法.从集合论的角度开始 ...
shiny1225 发表于 2010-8-10 18:30



    定理是从天上掉下来的,,,话说这句话真有点像俺爸说的。虽然如此,不过确实大部分学生都是这样感受的,其实吧,数学很难从理论结合导致的必然结果吧。
  你说的那种把一谱系龙德尔塔语言放在最后的讲法,确实是一种符合历史规律的讲法,但是我认为这个估计非一般高度的学生,否则微积分学习前期就能把学生打到了,不然为什么大部分主流教科书不这么做呢。关于这点,似乎一向标新立异的美国数学经常在这个方面有新点子。甚至极端的把最靠近近代的集合论先于微积分讲解给学生,完全颠倒历史时间顺序。
不过奇怪的是没有人讲几何的时候,先给学生讲公理体系,但是学生还都学的不错,可能和实际结合的比较好把。
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CDer:000035804
发表于 2010-08-10 21:29 | 显示全部楼层
呵呵,难得遇到这么一贴。
俺物理挺牛的,高中时记得一次考试,全年级只有俺一个人和另一个人做对了一道题,而且俺的方法最简洁。好像是一个带电球壳里一个电子的运行的题:),当时老师一进教室就宣布这个消息,让我现在还能记着。
数学俺也超喜欢,属于那种喜欢原理的人,对计算不太喜欢,因为特粗心吧。。。经常看反、算错:)。
我一直觉得自己的形象思维不错,因此几何、地理这些也特别好,这可能是我喜欢物理的原因,相反我对化学就不感兴趣,化学公式我觉得很多不可理喻,需要一些口诀,我很反感。
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CDer:000153112
发表于 2010-08-10 21:38 | 显示全部楼层
数学这个行当还要数毛子强,莫斯科大学应该是这个领域世界上的一哥。
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发表于 2010-08-10 22:28 | 显示全部楼层
确实如此,只不过几乎所有的教科书在学完不定积分之后,清一色的就是用牛顿莱布尼兹公式,然后就 ...
红色俱乐部 发表于 2010-8-10 20:29


微分是函数的近似值。如果从导数定义微分,微分运算就是常说的“局部线性化”。
定积分是正宗的积分,从它身上也容易体会微积分互为逆运算。定积分到不定积分如同从算术到函数。
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CDer:000230186
 楼主| 发表于 2010-08-10 22:36 | 显示全部楼层
微分是函数的近似值。如果从导数定义微分,微分运算就是常说的“局部线性化”。
定积分是正宗的积分, ...
木瓜 发表于 2010-8-10 22:28



    话说当年为了找出积分的通用解法(类似导数那种的)也是费了不少无用功
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CDer:000172890
发表于 2010-08-10 22:37 | 显示全部楼层
这么跟你说吧,我的同学都有这样一种功能,就是他们看专业课书(我们专业课大都是数学类的)的时候都能绕 ...
cdaxbcm 发表于 2010-8-7 10:49



    呵呵,握个爪,我也是。但是对原理的理解实在是太诱惑了
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发表于 2010-08-10 22:47 | 显示全部楼层
话说当年为了找出积分的通用解法(类似导数那种的)也是费了不少无用功
红色俱乐部 发表于 2010-8-10 22:36



    我觉得天文学和力学是推动传统数学发展的两大主力。所以,结合物理来讲数学,效果会好得多。相比数学,物理遇到的麻烦更大。解析几何现在不太受重视,而物理中涉及几何的部分,大学课程几乎都用解析几何。由于没有数学课支撑,很多人不明白符号规定的依据,光这一点就把人折腾晕了。实际上,高中力学用的就是解析几何,很多老师没点透这一点,而是花了大量时间辨析速度和速率。
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CDer:000172890
发表于 2010-08-10 22:48 | 显示全部楼层
我本科的时候我们班的老师就是用自己的教材先讲实数理论,后讲微积分等东西,讲积分根本没讲黎曼积分, ...
bnu630 发表于 2010-8-8 17:08



    诚心求问,是什么教材?
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 楼主| 发表于 2010-08-10 22:54 | 显示全部楼层
我觉得天文学和力学是推动传统数学发展的两大主力。所以,结合物理来讲数学,效果会好得多。相比 ...
木瓜 发表于 2010-8-10 22:47



    航海也是很重要的,特别是对数之类号称延长数学家生命的产物发明的那个时代。不过这也算是某种意义上的天文(把地球看出一个星球)解析的难点估计就是符号化,很多时候很简单的东西,搞不懂自己到底在做什么。和实际联系不紧密。高中力学的力学图还是太简单了,应该说用不到那么深刻的东西就能轻松搞出来。
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发表于 2010-08-10 23:21 | 显示全部楼层
航海也是很重要的,特别是对数之类号称延长数学家生命的产物发明的那个时代。不过这也算是某种意 ...
红色俱乐部 发表于 2010-8-10 22:54


简单问题可以讲出大道理:D
很多时候,老师不能把问题讲透彻,学生又糊里糊涂的成为了新老师。:D
速度能引出等差数列。加速度能引出高阶等差数列。有了速度和加速度做榜样,就可以思考加加速度。把公式摆出来就是多项式,由此可以体会多项式的重要性。换个角度解释,就能为泰勒级数作铺垫。
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CDer:000054684
发表于 2010-08-10 23:25 | 显示全部楼层
当然,这种方法对文科或偏文科还是有很大难度的,对于这些学生,可以采取另外的方法,比如中科大的教法,把一谱系龙德尔塔语言放在最后,前面就是靠直觉(比如极限的加减乘除在开始就没有证明,直接用),而且在前面告诉学生,这些东西的证明在后面有,这样也不错.中科大的观点也不错,牛顿莱布尼茨等人也不懂一谱系龙德尔塔语言嘛,但谁敢说他们不懂微积分?

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我怎么记得我们当初不是这么上的?似乎是先讲数列、过度到“极限”概念,然后引入无穷小,然后用伊普斯龙-delta语言描述无穷小,然后就引入微分,于是微积分开始了......
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CDer:000054684
发表于 2010-08-10 23:28 | 显示全部楼层
一般大学怎么教的?难道不是数列—>收敛->极限->无穷小->微分.....?
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 楼主| 发表于 2010-08-10 23:30 | 显示全部楼层
简单问题可以讲出大道理
很多时候,老师不能把问题讲透彻,学生又糊里糊涂的成为了新老师。
速度 ...
木瓜 发表于 2010-8-10 23:21



    话说,俺一直都不理解,为啥数学家那么喜欢把所有的函数都化成多项式,或者说级数的形式(当时的数学家甚至乐观的认为所有的函数都能化为级数)后来听说级数对实际结算有好处,因为可以得到误差可控的结果(只要控制好你打算算几个项就能得到你足够想要的精度)
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CDer:000062806
发表于 2010-08-11 09:17 | 显示全部楼层
诚心求问,是什么教材?
luyuan1000 发表于 2010-8-10 22:48


《简明数学分析》,作者是北师大数科院王昆扬老师,也就是我们的数分老师。
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发表于 2010-08-11 09:25 | 显示全部楼层
话说,俺一直都不理解,为啥数学家那么喜欢把所有的函数都化成多项式,或者说级数的形式(当时的 ...
红色俱乐部 发表于 2010-8-10 23:30


这个也是没办法的呀,要不很多函数没办法运算的,比如说e^x,最后只能用简单的函数和去逼近,只要计算能力足够强大就可以计算任意精度的结果。学数分的时候我们也以为就一种多项式逼近,如泰勒展开什么的,好像也够了,不过我们老师额外给我们补课上讨论班,学函数构造论,才见到还有很多种方法逼近函数,求近似值。不过我对这个真没兴趣,这个课是要学生讲的,我上去讲了一次课后越发糊涂了。
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CDer:000230186
 楼主| 发表于 2010-08-11 09:50 | 显示全部楼层
这个也是没办法的呀,要不很多函数没办法运算的,比如说e^x,最后只能用简单的函数和去逼近,只要计算能 ...
bnu630 发表于 2010-8-11 09:25



    一个函数会有很多级数的呢,而且数学家更偏好逼近速度快的级数(作为学生更喜欢表达式简单的),这样有限的运算下,可以快速的得到更精确的结果。比如圆周率当前的计算,其实就是通过结算级数,如果乃找到了一个比当前收敛速度更快的级数,乃就出名了{:wu:}
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发表于 2010-08-11 14:01 | 显示全部楼层
:dizzy: 不行了,听你们说的都晕了.....
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CDer:000341481
发表于 2010-08-11 14:19 | 显示全部楼层
中国历史上数学高速发展的时代,都是儒生吃瘪的年代。战国,南北朝···五代十国。
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CDer:000340157
发表于 2010-08-11 16:32 | 显示全部楼层
导数是微积分的逆运算?这还真没听说过,貌似微分和积分是逆运算吧,只是对于一元函数导数和微分是等价的。不过俺对数学印象最深的是高中时候讲到不等式的时候才知道即使A>B,B<A也是需要证明的。
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CDer:000322742
发表于 2010-08-11 19:02 | 显示全部楼层
我跟你正好相反,我只想计算又讨厌数学。
有没有那种方便的数学计算软件,哪怕是数学白痴也能进行各种数 ...
权衡45 发表于 2010-8-7 10:33

我估计你会很喜欢统计软件,例如EVIEWS和Minitab。
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CDer:000322742
发表于 2010-08-11 19:38 | 显示全部楼层
一般大学生都把微积分理解为导数的逆运算红色俱乐部 发表于 2010-8-10 12:04

我是把微分理解为导数乘以一个代数符号,恐怕要让你见笑了~不过对于我这种文科中的理科、理科中的文科生来说,这种程度的认识已经足够了。另外,很多人会搞错微积分和导数的先后顺序,我想是跟我们的学习顺序有关吧。我们都是高中学导数,到了大学在学习微积分。
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 楼主| 发表于 2010-08-11 19:46 | 显示全部楼层
导数是微积分的逆运算?这还真没听说过,貌似微分和积分是逆运算吧,只是对于一元函数导数和微分是等价的。 ...
天下英雄谁敌手 发表于 2010-8-11 16:32



    说错了,,,,微分积分互为逆运算,,,不过因为大学才接触积分。所以忘记了高中时学的导数也是微积分的一个组成部分。
那个不等式的证明其实就是引出了数学最重要的一个基础分支----集合论啊,所以数学家对定义的严格要求是有目的的。
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 楼主| 发表于 2010-08-11 19:53 | 显示全部楼层
我是把微分理解为导数乘以一个代数符号,恐怕要让你见笑了~不过对于我这种文科中的理科、理科中的文科生来 ...
kurodick 发表于 2010-8-11 19:38



    我说的是历史先后顺序,一般人以为自己学的顺序就是历史顺序,但是这并不是事实,实际上为了从逻辑上考虑难易程度,世界上数学教科书经常颠倒历史顺序,虽然导数比积分历史上更靠后,但是你我也都知道导数比积分更容易学习。
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 楼主| 发表于 2010-08-11 19:55 | 显示全部楼层
不行了,听你们说的都晕了.....
MoveMove 发表于 2010-8-11 14:01



    就当听故事啦,,呵呵
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CDer:000361909
发表于 2010-08-11 23:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 时间简史 于 2010-8-11 23:28 编辑

前两天看了一本讲火炮自动机的书,我就知道了几种自动机都是什么原理,然后前苏联搞了一种特别牛逼的自动机被我们掌握了,后面计算实际效率的部分我就没看= =
我就想了解到这种程度,不可能吗?
===========================
神秘的E,我看到后半部分就完全看不懂了。要是抛开计算光搞理论也很难啊。
里面有意思的是人们是先发现对数再提出指数概念。现在反过来了。
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CDer:000354172
发表于 2010-08-11 23:42 | 显示全部楼层
我跟你正好相反,我只想计算又讨厌数学。
有没有那种方便的数学计算软件,哪怕是数学白痴也能进行各种数 ...
权衡45 发表于 2010-8-7 10:33



  现在很多数学问题都用软件集成化了
原来需要编程序解决的问题,现在可能只需要查查用户手册,一个命令就完全搞定了
最常用的软件就是MATLAB了,早期的微分方程数值解需要自己编程,现在MATLAB都有现成的命令,稍微鼓捣鼓捣就出来了,方便得很,提高了效率,但同时带来的是一般工程技术人员基础理论水平的退化。
在鄙人看来,他给我带来了方便,基础理论功底退化就退化吧,反正肯定有数学家不退化的
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CDer:000354172
发表于 2010-08-11 23:45 | 显示全部楼层

中国人没有无理数的概念,也没有动力研究无理数。中国人要的是数据,无论多么复杂的问题,都要求能算出 ...
木瓜 发表于 2010-8-7 10:46



    中国古代数学很不注重证明,而注重计算

翻开一本计算方法的入门书,会发现有好些方法都是中国人原创的,因为中国果然偏好有实际应用背景的计算。
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CDer:000163157
发表于 2010-08-12 00:00 | 显示全部楼层
最近在读《数学大师》的人飘过
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发表于 2010-08-12 01:18 | 显示全部楼层
留个记号,改日再回.
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CDer:000077132
发表于 2010-08-12 08:51 | 显示全部楼层
《简明数学分析》,作者是北师大数科院王昆扬老师,也就是我们的数分老师。
bnu630 发表于 2010-8-11 09:17


很高兴认识你,我也是数学系的,研究生,听过王昆杨的泛函分析,研究生教材.确实挺好的一个老师.
他写的那本<简明数学分析>站的角度很高,如果作为已经初步接触过数学分析思想的人来说是不错的
但是对于初学者,还是有点难,当时我宿舍的人本科的时候就是用这个教材,结果据他们说,没怎么学好.
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CDer:000062806
发表于 2010-08-12 08:57 | 显示全部楼层
很高兴认识你,我也是数学系的,研究生,听过王昆杨的泛函分析,研究生教材.确实挺好的一个老师.
他写的那 ...
沿河歌唱 发表于 2010-8-12 08:51


校友?^_^,确实是这样,学的时候感觉很难,后来读研的时候他的书正是出版了,送给我们一本,那个时候看感觉很不一样,觉得就该这样,但是作为大一的可能就不会这样想了。
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发表于 2010-08-12 09:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 沿河歌唱 于 2010-8-12 09:12 编辑

你说的也不尽然,现在matlab和maple确实很有用,有时候用起来也是很方便,
但是呢,这些只能针对规则的现有的一些东西.比如标准的泊松方程,


就拿我们方向研_究的东西来说吧,主要就是微分_方程和动_力系统.
里面有各种各样的问题,比如说有时滞的反应扩_散方程,
用来描述,由于受到竞_争_传_染_病等因素的影响,种_群_数量和结构的变化
由于疾_病有_潜_伏期,所以当前的状态与之前某一段时间的状态有关系,这也就是时滞微分方程.

上次的_甲_*流,和我们合作的一个法国教授,用美_国_疾_控中心的数据
来做了个模型,计算出_隐_性*感_*染甲_*流的人数要远远大于预期.



这些东西没法用现成的东西来做
(我看到一份材料,据说现在也可以用matlab做,说明如何做就是一篇20页的论文)
我现在帮我师妹,都是用c语言计算生成数据,再用matlab画图.
前几天刚做完一个程序,我估计计算次数得有几百亿次吧,用我的工作站计算得半个小时.
如果用matlab中的M语言编程的话,由于是解释型语言,速度得慢六七倍.
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CDer:000077132
发表于 2010-08-12 09:24 | 显示全部楼层
对于数学中的美,我半年前读了一本书,叫做<流形上的微积分>
看完那本书,心中豁然开朗.很有收获.

定积分,曲面积分,体积分,还有斯托克斯公式等等,
和积分有关系的大部分东西,都可以归结到一个公式上.
那就是微积分的基本公式: 计算一个定积分,需要这个积分在边界上的值,
一维的情况大家都熟悉.就是常见的定积分公式
斯托克斯公式也是这样的:求一个体积上的积分,就是可以用边界上的积分值来计算.

之所以能把这么多复杂的公式统一到一起,
关键就是要把积分的定义给定义好,还有外积的定义,还有边界的定义.
那本书花了三分之二的篇幅来讲这些定义,所有的新的定义都是原先直观定义的推广.
在推广的意义下,所有的一切都是不证自明的了.
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CDer:000054684
发表于 2010-08-12 09:38 | 显示全部楼层
回复 156# 沿河歌唱
当年学斯托克斯定理的时候,好像有个印象:所有维度的体积分都可以变成面积分(低一个维度)。
好像是我的直觉印象,不见得严格。
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CDer:000077132
发表于 2010-08-12 14:29 | 显示全部楼层
回复 157# yaoyuan7310
的确是这样,这需要一些拓扑学的知识, 比如说同调 和 n维链的一些概念. 简单的说,
三维区域的边界是二维曲面, 二维区域的边界是一维曲线,一维区域的边界是0维的两个点
一维区域的积分可以用两个点上的值计算.
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 楼主| 发表于 2010-08-13 16:00 | 显示全部楼层
中国古代数学很不注重证明,而注重计算

翻开一本计算方法的入门书,会发现有好些方法都是中国 ...
山中无老虎 发表于 2010-8-11 23:45



    总体来说中国对整个科学界贡献是很少的,不过比较起来数学贡献还略微多点,至少古代数学上有勾股定理,虽然西方不承认,不过西方承认中国剩余定理。数论的一个结果。
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 楼主| 发表于 2010-08-13 16:07 | 显示全部楼层
前两天看了一本讲火炮自动机的书,我就知道了几种自动机都是什么原理,然后前苏联搞了一种特别牛逼的自动机 ...
时间简史 发表于 2010-8-11 23:25



    是的,很多数学上的东西教授的顺序主要是考虑学生的接受程度,并不是按照数学的历史规律,当年先发明对数的目的,就是冲着对数中乘法转换成加法这点进行的(回忆下对数的运算)实际上人们发明对数就是想利用查表和加法运算来代替乘法。对数所以就被称呼为让数学家长寿的发明。因为大大减轻了早期数学家运算的负担。类似的有积分限于导数(微分),无穷小的准确定义晚于整个微积分体系的建立。
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