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浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

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发表于 2021-05-05 04:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
https://mbd.baidu.com/newspage/data/landingsuper?context=%7B%22nid%22%3A%22news_10114135111558119053%22%7D&n_type=0&p_from=1


当两个看似“无关”的数学领域发生碰撞,会发生什么?

浙江大学研究员、中科大数学系2003级校友叶和溪,与来自剑桥大学、哈佛大学的两位学者一起,将动力系统应用到数论中,解开了困扰数学家长达数十年的难题。


叶和溪





研究成果发表在数学界顶级期刊《数学年刊》(Annals of Mathematics)上,该学术期刊为双月刊,近两年每年仅发表三十多篇学术论文。

这也是浙大40多年来首次在该期刊上发表成果。

叶和溪结合动力系统方法,证明了数论中一个非常重要的问题。

动力系统,主要研究空间中所有点随时间变化的情况。这门学科最著名的便是“蝴蝶效应”中的洛伦茨吸引子。



△洛伦茨吸引子


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 楼主| 发表于 2021-05-05 04:24 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

然而数论,研究的却是整数的性质。




这两个看起来风马牛不相及的领域,被数学家们巧妙地被结合到一起。

它们是怎么联系起来的,首先还得从两个方程说起。



两个方程

1、y=x+ax+b
2、f(z)=z+c
第一个方程表示椭圆曲线,当a和b不断变化时,椭圆曲线形状各不相同,就像是从曲线中挤出一个“气泡”。


椭圆曲线是数论中的重要工具,数学家证明费马大定理就用到了它。





在椭圆曲线上,你甚至可以对两个点做加法。

假设有两个点P、Q,那么PQ连线与曲线的第三个交点R对x轴的镜像点,就是P+Q。R的镜像点记为-R,即-R=P+Q。



因为椭圆曲线是上下对称的,所以P+Q也一定在椭圆曲线上。


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 楼主| 发表于 2021-05-05 04:29 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

那么P点和它自己相加(P+P)怎么计算?

想象一下Q点越来越靠近P点,最后PQ两点的连线就变成P点处的切线,所以P+P就是这个切线与椭圆曲线交点的镜像点。

如果P点反复加上自己,经过有限次加法后(P+P+……+P)又回到P点,那么P就叫做“挠点”(torsion point)。


第二个方程数学公式: f(z)=z^2+c,它不是二次曲线,而是与另一门数学分支动力系统有关





z在这里不是实数,而是实数+虚数。如果我们画出一个平面坐标,横坐标代表它的实数部分,纵坐标代表它的虚数部分,z就是一个点。

我们把z、f(z)两个点画在这个平面上,再把f(z)带入方程得到f(f(z)),然后再得到f(f(f(z)))……

如此“无限套娃”操作,把所有的点都画出来,可以得到以下图形。







有些人可能已经发现,这不就是分形吗,怎么和椭圆曲线联系起来了?

上面的图形范围有限,说明某些z值在经过无限套娃后,还是有限的数值。

假设c=-1,z的初始值为2,那么得到的数字组合是2、3、8、63……,这组数会一直增大;如果z的初始值是0,那么接来下的数分别是-1、0、-1、0……,会一直循环下去。

对于第二种情况,无限次迭代后的每个点都在有限范围内,这些有限范围内的点组成的集合,就是“朱利亚集合”(Julia set)。


朱利亚集合




在动力系统中,像-1、0、-1、0……这样,不仅范围有限,还能够回到起点的一组点,称为“有限轨道点”(finite orbit point)。

这样,椭圆曲线就和动力系统联系起来了,有限轨道点便是椭圆曲线上挠点的模拟。

叶和溪的导师DeMarco说:“椭圆曲线上的挠点与某个动力系统的有限轨道点相同,这就是我们在论文中反复使用的内容。”


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 楼主| 发表于 2021-05-05 04:50 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

证明数学猜想

但这三位数学家研究的问题——Manin-Mumford猜想——比上面复杂得多。

Manin-Mumford猜想是比椭圆曲线更复杂的曲线,例如y^2 = x^6 + x^4 + x^2 1,每个不同参数的曲线都与一个几何体关联。

Manin-Mumford猜想于1983年被Raynaud证明,即亏格(genus)大于1的任意光滑代数曲线上至多只有有限个挠点。

对于封闭的有向曲面而言,亏格就是曲面的“洞”数量。





椭圆曲线对应的几何体是亏格为1的“甜甜圈





叶和溪等人将Manin-Mumford猜想又推进了一步,他与Holly Krieger、Laura DeMarco一起,结合动力系统证明了,在亏格为2的情况下,光滑代数曲线挠点数量不仅有限,而且具有一致上界。

与椭圆曲线不同的是,Manin-Mumford猜想中的复杂曲线不具备允许做加法的结构。

但是它们对应的几何体却都可以做加法,而且像椭圆曲线一样具有挠点。

他们给出了待求的特定曲线簇的解的形状:像是两个甜甜圈的表面(亏格为2)。

其中,每个“甜甜圈”代表一个椭圆曲线。

而要证明挠点数量的上限,就需要计算出椭圆曲线上挠点之间的相交点数量。

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 楼主| 发表于 2021-05-05 04:52 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

然而这两条椭圆曲线上的挠点不可能直接比较,因为它们不一定重叠。


几位学者想出了一种方法:比较它们是否在“甜甜圈”上各自处于相同的相对位置。

他们将两条椭圆曲线的解各自绘制在一张平面图上,以此来比较挠点的位置。





他们利用动力系统,证明了这些点只能重合特定的次数,而且这一次数确实存在——即Manin-Mumford猜想的上界确实存在。

对于他们的证明,来自加拿大约克大学的助理教授Patrick Ingram表示:

他们成功证明了一个特殊问题。此前,这个问题一直被归类于数论中,没人认为它与动力系统有关。这确实引起了极大的轰动。


中科大03级数学人才“井喷”

在这次研究中做出不少贡献、来自浙江大学的研究员叶和溪,高中曾就读于福建省建瓯第一中学。

2003年,叶和溪进入中国科学技术大学数学系学习

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发表于 2021-05-05 06:22 超大游击队员 | 显示全部楼层
浙大40多年来首次在《数学年刊》上发表成果。国内的数学研究水平何时能比肩俄法德英?
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发表于 2021-05-05 12:11 | 显示全部楼层
中科大厉害的。中国在纯数学研究和国际最高水平比还有不小差距,这个只能慢慢积累,同时鼓励有天分的学生积极参与。其实最近几年比以前好很多了,一些以前国内研究者很少的领域也开始有年轻学生加入进去了。
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CDer:001157728
发表于 2021-05-05 12:47 | 显示全部楼层
这个版的帖子基本上都是不明觉厉,点个赞离开。
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 楼主| 发表于 2021-05-05 13:15 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

湍流1973 发表于 2021-05-05 12:47
这个版的帖子基本上都是不明觉厉,点个赞离开。

平时喜欢看什么书?
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发表于 2021-05-05 15:31 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

bjnr 发表于 2021-05-05 13:15
平时喜欢看什么书?

看过一些科普的书,量子力学、基因、天文什么的。
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 楼主| 发表于 2021-05-05 18:44 | 显示全部楼层

RE: 浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题,成果登上数学顶刊

湍流1973 发表于 2021-05-05 15:31
看过一些科普的书,量子力学、基因、天文什么的。

那也不至于 不明觉厉

有些专业的 大多数是科普的

毕竟有不同层面的版友  想看不同的内容

以科普为主吧
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发表于 2021-05-05 19:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 miaomiaomiao 于 2021-05-05 19:09 编辑

“y=x+ax+b” 是椭圆方程?,这个好像跟解析几何里讲的不一样啊?

当然也许数学家用的是更高级的数学工具,他写下的x、y...和你看到的x、y不是一回事。


哦,看到后面虚数上来了,表达含义是不一样。
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发表于 2021-05-05 21:50 超大游击队员 | 显示全部楼层
湍流1973 发表于 2021-05-05 15:31
看过一些科普的书,量子力学、基因、天文什么的。


量子力学是纯数学公式推导出来的,有关于量子力学的科普,绝大部分科普作者都不明白是怎么回事
不懂数学,很难理解量子力学是什么。
譬如我,听了无论无数科普,就知道一个量子力学推导出来的随机论是绝对没毛病。
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